[확률과통계] 연속확률변수의 합과 컨볼루션

Sums of independent RVs

이번 포스팅에서는 서로 독립인 연속확률변수의 합으로 이루어진 새로운 변수의 확률분포는 어떻게 정의되는지 살펴볼 것이다.

서로 독립인 확률변수 X,Y가 있는데 이를 이용하여 새로운 확률변수 S의 확률 분포를 구하고자 한다. 그렇다면 먼저 X와 Y의 연합확률분포를 생각해야한다. 또한 S를 정의하기 위해서 생성 함수또한 필요할 것이다.

 

cdf를 pdf로 바꿔주는 과정은 적분하면 된다.

이제부터 Convolution의 개념을 도입한다.

Convolution

컨볼루션을 하는 과정은 다음과 같다.

1. 한 개의 함수를 선택한 후, y축 기준으로 대칭시킨다.
2. 특정한 값(t) 만큼 평행이동한다.
3. 선택한 함수를 옮겨가며 오버랩되는 영역을 구간마다 찾는다.

두 함수를 Convolution을 통해 새로운 함수를 만들고자 한다.

과정 1,2를 통해 그래프를 얻으면,

구하는 과정은 다음과 같다.