[확률과통계] 연합확률밀도함수와 조건부확률밀도함수

Continuous joined pdf

앞선 포스팅에서 연속적인 확률변수에서의 pdf외 cdf를 알아보았다.

결국 하나의 확률 변수와는 달리, 두개의 확률변수의 확률 밀도를 구하려면 단위 면적 당 확률을 구해야 한다는 것을 알 수 있었다.

각각의 확률변수의 범위가 정해져 있다면 다음과 같이 이중적분으로도 구할 수 있지만,

마치 집합 A와 집합 B가 있을 때, 두 집합의 합집합을 구할 때처럼 얻을 수 있다.

Conditional Distribution

확률 밀도에 어떠한 조건을 걸어보자. 그럼 그 조건은 새로 축소된 Sample Space가 된다.

먼저 discrete한 경우를 살펴보자.

discrete case

하나의 동전을 3번 던지는 것을 예를 들어보자.

RV X는 동전의 앞면이 첫 번째로 나올 경우. (H=1, T=0)

RV Y는 앞면이 나온 횟수

라고 했을 때,

다음과 같이 확률이 나온다.

만약 X가 0. 즉, 첫 번째 던진 동전의 앞면이 뒷면만 경우일 확률을 계산해보면, x는 0으로 고정시킨 후 나머지 y에 대한 경우를 모두 더하면 된다.

그럼 X와 Y를 모두 고정한 채로 조건부확률로써 구해보면,

Continuous Case

확률변수가 연속적인 경우에는 정확한 확률값을 구하지 못하기 때문에 pdf로 나타내야 한다. X라는 outcome이 x로 고정되었을 때, 조건부확률밀도함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

조건부확률밀도함수에서는 cdf를 사용하지만 부정형이 나오기 때문에 미분의 개념으로 접근한다.