[확률과통계] 확률변수의 평균과 분산

Moments of RVs

• Arithmetic Average

우리는 초등학교 때부터 전과목 평균으로 등수를 매기는 방식 아래 살아왔기에 평균을 구하는 방법에 대해서는 잘 알고 있다.

• different frequency

전자전기공학부 출신들은 frequency를 들으면 바로 "주파수!"라고 대답할 것이다. 하지만 확률에서는 빈도수를 뜻한다. 여기서 w_i는 A라는 이벤트의 갯수를 의미한다.

Expectation (mean)

흔히 기대값이라고 일컫으며 평균을 의미한다. 식을 살펴보면

discrete한 경우에는 특정한 x_i라는 data와 그 x_i에 대응하는 확률값을 곱한 후 더하는 것이고, continuous한 경우에는 정적분과 같은 형태이다.

Poisson distribution

포아송 분포는 모든 모델링에 있어, 근간이 되는 분포함수이다. 특정한 시간동안에 사건이 발생하는 횟수를 구할 수 있다. 흔히 은행창구 시스템으로 예를 든다. 우리가 은행을 세운다고 해보자. 그러면 은행원은 얼마나 채용해야할지 고민해야된다. 만약 은행원 1명이 한시간 안에 처리할 수 있는 방문객의 수를 고려해야 한다면, 포아송 분포 함수로 채용할 은행원의 수를 구할 수 있을 것이다.

이 포아송 분포의 기댓값을 구하기 위해 Taylor Series를 활용하여 기댓값을 구한다.

 

여기서 lambda 는 특정한 기간동안 일어나는 사건의 수를 뜻한다.

Central Moments

Central Moments는 RV의 평균에 대해서 RV의 확률 분포의 Moments를 나타낸 것이다. 식으로 살펴보면,