[확률과통계] 독립사건과 확률

Independent Events

만약 사건 A와 사건 B가 (상호) 독립적이라면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

즉, A가 무슨 사건이든 간 B가 발생할 확률에 영향을 주지 않는다. 이것은 다음과 같이 증명하기만 하면 된다.

주머니에서 공을 빼는 것을 생각하면 이해하기 쉽다. 검은 공과 흰 공이 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 뺐다가 다시 넣지 않으면 현재 사건과 다음사건은 독립적인 사건이 된다. 만약 공을 다시 집어 넣고 뽑게 된다면 , 다음 사건은 현재의 사건에 영향을 받기 때문에 독립적이지 않다고 할 수 있다.

그래서 독립사건은 조건에 어떤 의미를 부여하는지에 따라 모델링이 달라질 수 있다.

또한 A와 B가 독립이면, 각각의 여집합도 독립이다.

Combinatorial Analysis (순열, 조합 - 경우의 수)

Permutation (순열)

서로 다른 n개를 일렬로 나열하는것. 즉, 순서를 고려한다.

Combination (조합)

서로 다른 n개를 뽑기만 하면 된다. 즉, 순서는 고려하지 않는다.

예를 들어 초등학교의 한 교실의 급식시간 10분 전의 아주 긴박한 상황에서 남학생과 여학생을 생각해보자. 그때, 문을 박차고 나오는 학생들은 너나 나나 할 것 없이 쏟아져 나온다. 우린 그저 성별에 상관없이 몇 명의 학생들이 교실에서 나왔는지만 궁금할 뿐, 순서는 상관없다.

식으로 나타내면 이렇다.

Binomail Theorem (이항 정리)

아마 현재 고학번 취급을 받는 학생들은 고등학교 시절 (미적분2, 기하와 벡터, 확률과 통계를 함께 보던...)에 암기에만 그쳤을 것이다. 그때의 추억을 상기하면서 식을 되새겨 보자.

식을 풀어쓰면, a와b에 대한 거듭제곱의 항에 대해서 nCr 이라는 식으로 되어있는 것을 볼 수 있다. 우리가 흔히들 외우고 있는 곱셈공식과 급수 등 많은 수학적 계산에 적용될 수 있다.

그렇다면 이항분포가 왜 필요한가? 반복된 시행을 n번해서 p라는 확률을 낳는 경우가 몇 번 나오는지를 알기 위해서다.

여기서 급수와 관련된 식 중에서

을 살펴보자.

어떠한 data나 값들을 위의 식을 통해서 모델링을 해야한다면 무한대에 수렴하기 때문에 불가능 할 것이다.

그래서 그에 대한 대안으로 다음이 있다.

Stirling's formula